Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ich habe mir vom freitäglichen Distart berichten lassen, dass das schon ganz passabel für einen Anfang war.

Das heißt also, wir können jetzt mal ein bisschen mehr in die Vollen gehen.

Okay, direkte Verfahren für Gleichungssysteme oder Ausgleichsprobleme.

Dieses Thema haben wir jetzt ein Stück weit abgeschlossen.

Wenn man uns sagt, ich will ganz allgemein Gleichungssysteme behandeln,

und Gleichungssysteme sind erst mal dann eben potenziell vollbesetzte Gleichungssysteme.

Es gibt gewisse Anwendungen, wo das der Fall ist.

Die typische Stelle, wo große Gleichungssysteme auftreten, in technisch naturwissenschaftlichen Anwendungen,

wo wirklich sehr große Gleichungssysteme auftreten, also irgendwo zwischen 10 hoch 6 und 10 hoch 9 von der Dimension,

das ist ungefähr die Größenordnung, wo man sich heute bewegt,

das wäre mit keinem Verfahren der Welt möglich, wenn diese Gleichungssysteme vollbesetzt werden.

Das sind sie aber nicht, die Matrizen sind typischerweise dünn besetzt, das heißt,

die haben viele Nulleinträge und haben auch da eine Systematik, etwa in dem Sinn,

dass man weiß, egal wie groß das Gleichungssystem ist, es hat nur 5 Einträge pro Zeile.

Wir haben ja auch schon ein kleines bisschen in diese Richtung geschaut, wie man versuchen kann,

solche Besetzungsstrukturen auszunutzen, was wir gesehen haben, das einfachste, was man da machen kann,

und was wir uns angeschaut haben, ist die Bandstruktur.

Mit der Bandstruktur ist es gut, wenn es ohne Pivotisierung funktioniert,

also solange wir positive, definite Matrizen haben und tatsächlich Cholesky und damit Bandcholesky machen, ist die Sache okay.

Und es ist dann gut, wenn das Band schon voll besetzt ist, dann kann man es eigentlich nicht besser machen.

Typischerweise, in so einem Beispiel, wir werden dieses Beispiel mit diesen 5 Einträgen demnächst ein bisschen genauer anschauen,

wird es so sein, diese 5 Einträge liegen eben dann nicht direkt um die Diagonale,

es ist also keine Bandmatrix mit Bandbreite 2 dann, sondern die sind irgendwo weit außerhalb,

das heißt, das Band ist wesentlich größer und was dann passiert bei solchen direkten Verfahren, das ist also sogenanntes Einfüllen.

Das heißt, die Matrix L und die Matrix R haben zwar die gleiche Bandbreite, wenn wir nicht pivotisieren, aber das Band wird vollständig aufgefüllt.

Und dadurch wird die Matrix plötzlich viel, viel, viel größer.

Das heißt also, es wäre sinnvoll, jetzt noch eine andere Klasse von Verfahren zu haben und tatsächlich alles, was man heute anwendet,

ich sage es einfach mal so, alles was man heute anwendet an Verfahren für große Probleme, große technische Probleme ist von der Bauart, wie ich sie gleich ansprechen will.

Es wäre also sinnvoll Verfahren zu haben, die iterativer Natur sind und die eben die Matrix überhaupt nicht verändern,

sondern die Matrix sozusagen nur im Sinne einer Matrix-Vektormultiplikation oder Matrix-Vektormultiplikation mit einer aus dem System Matrix abgeleiteten Matrix ausnutzen.

Solche Verfahren sind seit langem bekannt und gehen schon auf Gauss zurück, zumindest die, die man für die technischen Anwendungen nicht brauchen kann oder nicht unbedingt brauchen kann,

aber die ganz gut sind, um das Prinzip der Verfahren zu verstehen und um die soll es dann im Folgenden gehen.

Da das Ganze aber einen gewissen allgemeinen Vorlauf hat und man diesen allgemeinen Vorlauf auch durchaus für nicht-lineare Probleme hinschreiben kann,

weil er halt entsprechend allgemein ist und halt an dem entsprechend auch noch nicht so schrecklich aussagekräftig,

machen wir jetzt einen kleinen Einschub, wo wir uns erst einmal vom linearen Gleichungssystem verabschieden und einfach ein nicht-lineares Gleichungssystem anschauen.

Das heißt also die Fragestellung und da haben wir verschiedene Möglichkeiten, die haben wir auch im linearen Fall, die Fragestellung zu formulieren.

Das heißt also bisher war unser F von X durch eine lineare Abbildung gegeben,

jetzt soll das eine ganz allgemeine Abbildung von einem normierten Raum in sich selbst sein, dann eben wieder typischerweise der R hoch N

und aus dem Gleichungssystem wird jetzt so ein Nullstellenproblem für eine nicht-lineare Abbildung F.

Wenn wir mal auf diesem Level sind, ist es relativ egal, ob wir nun so ein Gleichungssystem uns anschauen oder uns direkt ein Nullstellenproblem uns anschauen,

das können wir machen, dann können wir das B mit in das F integrieren oder aber ob wir uns ein Fixpunktproblem anschauen, was uns auch schon über den Weg gelaufen ist.

Das heißt wir suchen ein X und wir machen eine der Farben, das setzt jetzt natürlich voraus, dass das Bild von F wieder in der Menge U ist,

wenn F nicht auf dem ganzen Raum definiert ist, sondern nur auf einer Teilmenge U, sonst haben wir keine Chance einen Fixpunkt zu finden.

Das heißt wir nennen einfach ein Element X, einen Fixpunkt, wenn F von X gleich X.

Das ist klar, von dem F muss ich einfach zu F von X plus X, als neue Abbildung übergeht, dann wird aus einer Nullstellen Fixpunkt

und aus einem Fixpunkt wird wieder ein nicht-linares Gleichungssystem, wenn ich das F entsprechend modifiziere.

Also auf diesem abstrakten Level sind eigentlich diese drei Probleme äquivalent zueinander

und selbst wenn wir noch voraussetzen, dass das F linear ist, dann ist das weiterhin der Fall oder affin linear ist, ist das weiterhin der Fall.

Okay, jetzt haben wir uns ja schon, so eine Gleichung ist uns schon mal ganz am Anfang über den Weg gelaufen,